Jednou z možností, jak určit s vysokou pravděpodobností její aktuální polohu, je vyjít z teorie stabilní rezonance (Kepler 1596, Ovenden et al. 1974), která říká, že nemůže nastat situace, kdy by se všechna tělesa dostala současně na stejnou polopřímku od centrálního tělesa. Vyjádřením této stabilní rezonance je například Laplaceova rovnice pro Jupiterovy měsíce

λ₁ - 3* λ ₂ +2* λ ₃ =  .                                                          /1/

Pravidlo oběžných dob planet v poměru malých celých čísel použil Reiman (2017) pro hledání možné polohy deváté planety. Dalším pravidlem, vycházející ze stabilní rezonance, je pravidlo symetrie soustavy, která ukazuje na to, že integrál jednostranných odchylek mezi všemi tělesy v soustavě se po nějaké době obrátí v protiklad a v co možná nejkratším časovém horizontu se zcela vyrovná.

Pro analýzu symetrie Sluneční soustavy jsme vzali takové konfigurace všech planet, které se co nejvíce blíží uspořádání na jedné přímce, procházející Sluncem. Spočítali jsme tzv. „Alignment index“ (Ia), definovaný jako součet absolutních hodnot kosínů vzájemných úhlů 4 největších planet. Získali jsme tak 94 Grand Alignments (GA), které měly Ia index větší nebo roven hodnotě 1.7, například v roce 3321 BC (obr. 1a).

Solar System: Wed – 3321 Feb 18 0:00. Kredit: P. Kalenda.	Solar System: Wed 878 Mar 12 0:00. Kredit: P. Kalenda.
Solar System: Wed 878 Mar 12 0:00. Kredit: P. Kalenda.	Solar System: Tue 1838 Mar 13 :00. Kredit: P. Kalenda.

Obr. 1a - Grand Alignment 18. února 3321BC (Credit: Solar Systém Live)
1b - GA 12. března 878
1c - GA 12. března 878 s histogramem 12 TNO s a>= 300 AU (pro ilustraci poloha Sedny na h-lon 311. 2° a směr ke středu Galaxie jsou vyznačeny)
1d - Sluneční soustava 13. března 1838 - čtverec - barycentrum SS, kruh - heliografická délka planety IX
1e - Možné heliografické délky planety IX během GA v roce 878.

Mezi všemi 94-mi GAs se jako výjimečný ukázal GA v roce 878 AD, který ukázal nejvyšší míru symetrie nejenom mezi planetami (Me-Ve) vs (Ea – Ma), Ju vs Sa and Ur vs Ne, ale taky mezi celou Sluneční soustavou a směrem ke středu Galaxie (h-lon 266°). Když si vyneseme histogram poloh známých velkých TNO (Batygin a Brown 2016), vidíme, že celá SS si zachovala velkou míru symetrie okolo přímky 266° až na to, že trochu více hmot je soustředěno v „levé“ polovině (longitudy 86° - 266°) a to jak u terestrických planet, velkých plynných obrů, tak TNO. Proto můžeme s velkou pravděpodobností předpokládat, že Planet IX se bude v roce 878 nacházet v „pravém horním“ kvadrantu, tedy mezi h-lon 0° - 86° tak, aby vyvažovala jak zbylé TNO, tak zejména Jupiter. Protože většina TNO se nachází na longitudách, odkloněných od osy symetrie (266°) o 45°, můžeme uvažovat o poměrech jejich orbitálních period takových, že tvoří čtyřlístky (3:7) nebo trojlístky (2:5) s Planet IX (Reimann 2017), a tedy Planet IX se může nacházet v roce 878 pouze na vybraných longitudách v násobcích 45°, 30° a výjimečně také 15° od longitud TNO a to zejména v jejich opozicích. Když sečteme relativní pravděpodobnosti možného výskytu Planet IX na jednotlivých longitudách (s přesností +-2° a krokem 1°), ukazuje se, že v „pravém horním“ kvadrantu existují pouze 2 velice pravděpodobné polohy – na longitudách 8° a 53°. V obou polohách jsou harmonicky vyvažovány všechny TNO (více na longitudě 53°). Pokud ale vezmeme do úvahy také vyvažování Jupitera, tak to je lepší na longitudě 8° (v roce 878). Pak se celá Sluneční soustava jeví jako vyvážená z pohledu Galaxie a součet rotačních momentů „pravé“ poloroviny je přibližně roven součtu rotačních momentů „levé“ poloroviny. V roce 2017 by pak Planet IX byla přibližně na h-lon 31° +-2°.

Obdobnou úvahu jako pro TNO můžeme udělat pro plynné obry ve Sluneční soustavě. Hledali jsme takový okamžik, pro který jsou symetrické konjunkce, opozice, průchody perihéliemi a další vlastnosti dvojic planet (podle modelu VSOP87 (Bretagnon 1982, Bretagnon and Francou 1988)). Nalezen byl Mar 13, 1838, kdy se celá Sluneční soustava nachází na jedné z hlavních symetrií (minimálně pro období několika set let) a současně barycentrum počítané ze známých těles je velice blízko Slunci (obr 1d). V tomto okamžiku je možno nalézt takovou polohu Planet IX tak, že leží na spojnici barycentrum (počítané ze známých planet) – Slunce – Planet IX a současně má hmotnost mezi 1 a 5 mZemě (Kalenda et al. 2018) takovou, že je schopno plně vyvážit známé planety tak, že barycentrum všech hmot včetně Planet IX je totožné se středem Slunce. Přesně v Mar 13, 1838 leží barycentrum nejblíže Slunci a Slunce leží ve směru 29.0° od barycentra známých planet. Pokud na stejné polopřímce leží i Planet IX a má hmotnost 4.5 mZemě, pak střed Slunce leží přesně v barycentru celé SS včetně Planet IX. V roce 2017 by pak Planet IX byla na h-lon 32.6° +-0.2°. Její h-lat by pak byla -21.66° +-0.1° (při parametrech orbity a=710 AU, e=0.45, i=25°, omega=150°, uzel=91° (Batygin and Brown 2016) na Wikipedii).

Poděkování

Děkujeme Dr. Jiřímu Borovičkovi za výpočet efemerid Planet IX a konzultace.

Literatura

Konstantin Batygin, Michael E. Brown (2016): Evidence for a Distant Giant Planet in the Solar Systém. Earth and Planetary Astrophysicsph.EP), arXiv:1601.05438.

Bretagnon, P. (1982). "Théorie du mouvement de l'ensemble des planètes. Solution VSOP82". Astronomy & Astrophysics. 114: 278–288.

Bretagnon, P., Francou, G. (1988). "Planetary theories in rectangular and spherical variables. VSOP87 solutions". Astronomy & Astrophysics. 202: 309–315.

Kalenda, P., Málek, J. (2006): Sluneční aktivita je řízena slapy na Slunci. 18. celoštátny slnečný seminár, Modra, Slovensko. http://stara.suh.sk/obs/slnsem/18css/kalenda.pdf.

Kalenda, P., Málek, J. (2008): Je sluneční aktivita spojená s variacemi momentu hybnosti Slunce? Zborník referátov z 19. celoštátneho slnečného seminára, 36-44. (ISBN verzie na CD: 978-80-85221-60-2). http://stara.suh.sk/obs/slnsem/19css/kalenda.pdf.

Kalenda, P., Pintr, P., Mikula, V. (2018): Odhad hmotnosti IX. planety na základě sluneční aktivity. 24. Sluneční seminář. Kežmarok 25.5.2018. http://www.suh.sk/obs/slnsem/24css/34w.pdf

Kepler, J. (1596): Harmony of the World. Trinity College, Cambridge.

Ovenden, M.W., Feagin, T., and Graf, O. (1974): "On the principle of Least Interaction Action and the Laplacean Satellites of Jupiter and Uranus," Celestial Mechanics Journal, 8(4), 455-471 (1974).Reimann, B. (2017): Corralling a Distant Planet with Extreme Resonant Kuiper Belt Objects. Presentation given by Bruno Reimann, 6430134, Vienna, June 22, 2017.

https://cs.wikipedia.org/wiki/Slune%C4%8Dn%C3%AD_soustava