Průlom českých vědců v kvadratické gravitaci  
Čtveřici vědců se podařilo dosáhnout zajímavého teoretického výsledku v teorii rozšiřující Einsteinovu teorii gravitace, tj. obecnou teorii relativity. Tato rozšířená teorie je speciálním případem kvadratických teorií gravitace, a získaným výsledkem je nalezení přesného sféricky symetrického vakuového řešení, které popisuje gravitaci černé díry. Nalezené řešení umožňuje přesně počítat efekty, které v okolí takovýchto nestandardních černých děr nastávají, a tím i v principu na základě astrofyzikálních pozorování zjistit, zda se v našem vesmíru realizuje Einsteinova nebo naopak kvadratická teorie gravitace.

Pozoruhodný výsledek získala skupina českých vědců z Matematického ústavu Akademie věd ČR a Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy ve složení Vojtěch Pravda, Alena Pravdová (oba MÚ AV ČR), Jiří Podolský a Robert Švarc (oba MFF UK). Jako první na světě získali přesná sféricky symetrická vakuová řešení pro jeden typ kvadratických teorií gravitace. Sféricky symetrická vakuová řešení odpovídají v obecných teoriích gravitace černým děrám nebo obecněji i nahým singularitám, které vznikají po gravitačním zhroucení příliš hmotných objektů, pokud teorie takové zhroucení připouští (připouští je, pokud od určitého kritického stavu rostou gravitační síly rychleji než odpudivý tlak hmoty).

 

 

Kvadratické teorie gravitace představují jednu z mnoha kategorií teorií jdoucích za rámec Einsteinovy obecné teorie relativity (OTR). Některá z těchto rozšíření či alternativ k OTR se studují už od dob vzniku Einsteinovy teorie, některé z nich navrhl a studoval i sám Albert Einstein. Důvodů pro jejich studium je celkem dost (samozřejmě kromě toho, že existuje alternativní teorie popisující daný okruh jevů, což je sám o sobě legitimní důvod). Alternativy k Einsteinově teorii se studovaly např. kvůli tomu, že se hledaly teorie sjednocující gravitaci s elektromagnetismem či obecněji i s dalšími silami, nebo kvůli tomu, že se hledala teorie mající některé specifické vlastnosti odlišné od OTR (např. by v ní existoval tzv. tenzor energie-hybnosti gravitačního pole, který v OTR chybí). Dalším z významných důvodů bylo, že se hledala teorie, která umožní vytvořit kvantovou verzi a tím i teorii kvantové gravitace (zatímco v OTR při použití dnes známých postupů vzniká nekonečně mnoho typů nekonečných veličin, a to znemožňuje získat jakékoliv predikce). Ještě jiným důvodem bylo hledání teorie, která by vysvětlovala efekty, které přičítáme temné hmotě, nebo temné energii, optimálně pak obojímu (opět, samotná OTR je vysvětlit neumí, právě proto pro jejich vysvětlení musíme přidávat ty „temné ingredience“). Také byly hledány teorie, které odstraní počáteční singularitu velkého třesku nebo které přirozeně vysvětlí inflační fázi rozpínání vesmíru (inflační fáze se opět musí ke stávajícím kosmologickým teoriím uměle „dolepit“ pomocí ad hoc hypotézy).

 

 

Důvodů, které motivují hledání alternativ k Einsteinově teorii gravitace je tedy více. Je nutné říct, že ačkoliv byly nalezeny teorie, které na rozdíl od OTR vyhovují některým ze zmíněných požadavků, dodnes nebyla nalezena teorie, která vyhovuje všem z nich (snad až na strunové teorie, které pro změnu přináší své vlastní netriviální problémy). Konkrétně pak kvadratické teorie gravitace jsou význačné tím, že v principu umožňují vytvoření tzv. renormalizovatelné gravitační teorie, tj. teorie, která obsahuje maximálně konečný počet typů nekonečných veličin v kvantové verzi (tento konečný počet typů nekonečen vznikajících během kvantování je možné eliminovat v procesu tzv. renormalizace, který zhruba řečeno vede k tomu, že se obětuje konečný počet veličin, které pak teorie na základě svých parametrů neumí předpovědět a které se musí prostě změřit – je tedy jasné, že jakmile by takto obětovaných hodnot bylo nekonečně hodně, tak by se taková teorie stala do značné míry bezcennou). Aniž bychom zabíhali do detailů renormalizovatelných teorií, zmiňme aspoň, že stávající tzv. Standardní částicový model sice nekonečna také obsahuje, ale jenom konečně mnoho typů, a proto jde o renormalizovatelnou teorii (mimochodem velice úspěšnou).

 

U každé teorie gravitace hraje velice důležitou roli to, nakolik umí reprodukovat úspěšně ověřené předpovědi svých předchůdců. Tak např. obecnou teorii relativity by nikdo nemohl brát vážně, pokud by sice měření přesně potvrzovala ohyb světla v gravitačním poli, stáčení perihelií planet, dilataci prostoru a času, gravitační posuv a další typicky obecně-relativistické jevy, ale přitom by totálně vybouchla v Keplerovské nebeské mechanice. Reprodukce úspěšných předpovědí Newtonovy teorie gravitace bylo vlastně takovým nulovým testem OTR, a teprve když tímto sítem prošla, tak teprve potom mělo smysl zajímat se o odlišnosti předpovídané pro jevy buďto zatím nepozorované (např. pro ohyb světla, gravitační posuv či časové a prostorové dilatační jevy), nebo pro jevy předchozí teorií neuspokojivě vysvětlené (stáčení perihelia). Úplně stejný princip je vyžadován i pro jakoukoliv novou teorii – nejprve ukaž, jak umíš popsat to, co úspěšně popsala tvá předchůdkyně, a teprve potom má smysl se zabývat tím, co údajně umíš nad její rámec.

 

 

Dnešní nové teorie gravitace jsou většinou konstruovány tak, že nemají velký problém s reprodukováním Keplerových zákonů. Výrazně horší je to už s např. předpovědí velikostí slapových sil, kde i jinak slibné teorie umí nečekaně selhat. Jedním z důležitých prubířských kamenů je bezesporu to, jaký tvar sféricky symetrických řešení gravitačního pole teorie předpovídá. Sféricky symetrické pole je obecně generováno sféricky symetrickým rozložením hmoty, zajímáme se tedy typicky o to, jaké gravitační pole generuje např. hvězda či ještě kompaktnější objekt. Pokud se zajímáme o průběh gravitace uvnitř toho tělesa, pak bychom hledali nevakuové řešení, protože ale nemáme jak měřit průběh gravitačního pole uvnitř hvězd, zajímáme se o vnější gravitační pole, tedy hledáme průběh gravitačního pole ve vakuu, tedy nad povrchem zdroje tohoto pole.

 

Průběh vnějšího gravitačního u hvězd ale moc velkou zkouškou není, protože prakticky každá gravitační teorie umí bez problémů zreprodukovat Newtonův gravitační zákon pro slabá gravitační pole (adjektivum slabá je zde samozřejmě relativní pojem). Mnohem zajímavější je případ extrémně silných gravitačních polí, jaká existují pouze v blízkostech neutronových hvězd nebo v blízkostech horizontů černých děr. Takováto pole umí moderní astrofyzika „testovat“ prostřednictvím typických jevů, které v těchto silných polích vznikají – kromě už zmíněného stáčení perihelia je to např. rozpad orbity, kdy dochází ke spirálovitému přibližování obíhajících se těles (tento jev lze optimálně pozorovat u obíhajících se pulzarů, např. u dnes již učebnicového Hulse-Taylorova binárního pulzaru). Lze také pozorovat trajektorie hvězd obíhajících kolem či padajících do gigantické černé díry v centru naší Galaxie.

 

Pro obecnou teorii relativity je velmi dobře známo sféricky symetrické vakuové řešení Einsteinových gravitačních rovnic, kterým je tzv. Schwarzschildovo metrika. Právě díky tomuto řešení byly poprvé předpovězeny v té době ještě nepředpokládané vlastnosti, jako je existence horizontu událostí (vzdálenosti od centra zkolabovaného objektu, z pod nějž už principiálně není návratu) či nekonečné zpomalování času nad horizontem. Takovéto objekty opatřené horizontem událostí byly později nazvány černými děrami a intenzivně studovány, aby pak mohly být doporučeny např. jako akceptovatelné vysvětlení pro do té doby záhadné kvazary – objekty velice malých rozměrů vzhledem ke gigantickému elektromagnetickému záření, jehož jsou zdroji. V relativně nedávné době byly nakonec černé díry, konkrétně jejich srážka, navrženy i jako pravděpodobné vysvětlení pro zdroj prvních pozorovaných gravitačních vln, např. hned pro první detekovanou událost GW150914.

 

 

Zatímco pro OTR je přesné sféricky symetrické řešení známo již dlouho (Karl Schwarzschild ho publikoval už v lednu 1916), tak mnohé alternativy Einsteinovy teorie si dodnes musí vystačit pouze s numerickými výpočty – tzn. že místo přesného řešení zapsaného typicky ve tvaru nějakých funkčních závislostí, ze kterého lze odvozovat obecné vlastnosti týkající se např. pohybu jiných těles v takovém poli, je nutné zadat nějaké konkrétní parametry, pro ty provést numerický výpočet, potom parametry pozměnit, provést výpočet pro pozměněné parametry, pak parametry opět pozměnit, atd. atd.. Tento proces je nejen náročný na výpočetní výkon použitých počítačů, ale také v sobě mj. skrývá nebezpečí kumulovaných chyb a v důsledku pak třeba i úplně zcestného výsledku. Tou nejhlavnější nevýhodou ale je to, že numericky získaná řešení jde velice špatně zevšeobecňovat a extrapolovat pro jiné hodnoty parametrů, než pro které byly získány. Mnohé výsledky samozřejmě nelze získat jinak, než numericky, protože přesných řešení je ve fyzice relativně málo, nicméně tam, kde přesné řešení vyjádřené ideálně v analytickém tvaru existuje, znamená to obrovskou výhodu pro budoucí zkoumání vlastností a důsledků takového řešení.

 

Z toho důvodu je velice významným výsledkem, že se zmíněné čtveřici českých výzkumníků podařil právě tento husarský kousek – získat přesné řešení pro sféricky symetrické vakuové gravitační pole pro jednu z kvadratických teorií gravitace. Na rozdíl od OTR, která obsahuje dva parametry (gravitační konstantu a kosmologickou konstantu) obsahuje zkoumaná teorie parametry čtyři (kromě dvou zmíněných konstant ještě další dvě, přičemž vhodnou volbou těchto konstant lze jako speciální případ dostat i OTR). V případě, že nejde o speciální případ, kdy se kvadratická teorie redukuje na OTR, tak tato teorie obsahuje i tzv. Bachův tenzor, který modifikuje gravitační pole černých děr a také určuje specifické chování těles obíhajících v takovém poli – v principu by tedy někdy v budoucnu mohlo být např. na základě pohybu hvězd v blízkosti gigantické černé díry v centru Mléčné dráhy rozhodnuto, která teorie platí.

 

Čeští vědci tedy našli přesný výsledek pro zobecnění Schwarzschildova řešení na širší teorii, která OTR obsahuje jako svůj speciální případ. Tento jejich výsledek může v budoucnu umožnit zjistit, jestli platí Einsteinova teorie, nebo obecnější kvadratická teorie (nebo event. ani ta ne). Pokud by se ukázalo, že platí širší teorie (která se přitom neredukuje na OTR), mohlo by to navíc znamenat i výrazný pokrok v hledání kvantové teorie gravitace.

 

Pro zájemce, zde je k nalezení tisková zpráva Akademie věd: https://www.avcr.cz/cs/pro-media/ a zde volně přístupný článek českých výzkumníků: http://utf.mff.cuni.cz/~podolsky/2018/PRL2018.pdf

 

Napsáno pro osel.cz.

Autor: Pavel Brož
Datum: 03.01.2019
Tisk článku

Tajemný vesmír - Buttlar Johannes
 
 
cena původní: 302 Kč
cena: 263 Kč
Tajemný vesmír
Buttlar Johannes
Související články:

Vábení stínů černých děr     Autor: Pavel Bakala (12.11.2015)
Jaké je hvězdné nebe nad černou dírou?     Autor: Pavel Bakala (14.12.2015)
Detekce gravitačních vln – první dojmy     Autor: Pavel Bakala (12.02.2016)
Stephen Hawking a jeho klíčové objevy     Autor: Pavel Brož (16.03.2018)
Detekce gravitačních vln od nejtěžší černé díry     Autor: Vladimír Wagner (09.12.2018)



Diskuze:

Bachův a Weylov "tenzor" ukazuje že,

Karel Ralský,2019-01-07 23:03:30

za horizontem událostí něco je, co vytváří pnutí a poruchy v prstenci.Možná se přece jen jednou "dočkáme" cestování zkratkou ve vesmíru.

Odpovědět


Bachův ani Weylův tenzor nic takového neukazuje

Pavel Brož,2019-01-08 21:00:23

Bachův i Weylův tenzor jsou matematické veličiny závislé na křivosti prostoru či prostoročasu (v závislosti zda pracujeme s tzv. Riemannovými či pseudo-Riemannovými prostory). Tyto veličiny se dají definovat nezávisle na fyzice, která má křivost toho prostoročasu určovat. Fyziku tomu dávají až konkrétní rovnice určující vztah mezi distribucí hmoty a křivostí prostoročasu, a tyto rovnice se pro různé teorie liší. V některých teoriích existuje horizont událostí, v jiných vůbec neexistuje, ještě jiné teorie dokonce pro sféricky symetrické řešení předpovídají horizonty událostí dva (týká se to pro určité hodnoty parametrů i v článku zmíněných kvadratických teorií gravitace). Bachův i Weylův tenzor je ale definován úplně ve všech těchto teoriích, bez ohledu na to, jestli v nich horizont událostí neexistuje vůbec nebo existuje jeden nebo více, takže ta Vaše věta nedává žádný smysl. Navíc v článku zmíněných řešeních žádný prstenec nefiguruje, protože ta řešení jsou sféricky, nikoliv jenom osově symetrická.

Odpovědět


Re: Bachův ani Weylův tenzor nic takového neukazuje

Karel Ralský,2019-01-09 09:05:19

Děkuji za upřesnění, jako laik nedovedu rozlišit Bachův tenzor od "Bachova- Weylovova" tenzoru, který jsem si našel na internetu a kde je zmíněn i ten prstenec nebo chcete li "troid" byť odkazuje Pan Milan Pešta na "kvadratické řešení(v budoucnu)". Negratuluji však dopředu za "kvadratické řešení" aby jim to nepřineslo smůlu radši řeknu "zlomte vaz" a chtěl bych aby jim to vyšlo, neboť se to dá ověřit.

Odpovědět


Re: Re: Bachův ani Weylův tenzor nic takového neukazuje

Pavel Brož,2019-01-09 10:39:55

Spíše bych se měl omluvit za své puntičkářství. Mimochodem, když už jste to nakousnul ve Vašem předchozím příspěvku, tak problematika cestování v čase je stále otevřená i v Einsteinově obecné teorii relativity. Existují po formální stránce neproblematická řešení rovnic OTR, která umožňují cestovat v čase. První takové řešení už kdysi dávno odvodil matematik a logic Gödel, najdete ho na netu jako Gödelův rotující vesmír. Toto řešení ale bylo léta ignorováno, protože ač je matematicky bezchybné, vyžaduje aby celý vesmír už byl nějaký. Později byla nalezena řešení "nekosmologická", ve smyslu lokálnější, založená na červích děrách. S červíma dírama není problém v tom, že by nemohly matematicky existovat, odpovídající řešení jsou opět formálně bezchybná, problém je v tom, jestli existuje hmota s takovými vlastnostmi, aby se daly vytvořit a ideálně aby se hned nezhroutily. O tom, jaká hmota je a jaká není přípustná neříká OTR vůbec nic, je to totiž čistě teorie o tom, jak se hmota v křivém prostoročasu pohybuje a jak ho naopak křiví, neříká nic o tom, jaká hmota může být.
Mimochodem existují gravitační teorie, např. stará Cartanova teorie, ve kterých jsou červí díry stabilní i s obyčejnou hmotou, a v těchto teoriích tedy cestování časem možné je.
Jinak pokud se chcete dozvědět více o současném výzkumu v oblasti cestování časem s pomocí červích děr a přitom stále v rámci OTR, hledejte sousloví Roman ring, což je název pro řetěz červích děr, který by mohl teoreticky sloužit jako stroj času.

Odpovědět


Re: Re: Re: Bachův ani Weylův tenzor nic takového neukazuje

Karel Ralský,2019-01-09 19:24:37

Děkuji za odkaz podívám se na něj a neomlouvejte se protože upozornění na chybu a poučení z ní nás dělá opravdovými lidmi.

Odpovědět


Re: Re: Re: Re: Bachův ani Weylův tenzor nic takového neukazuje

Pavel Brož,2019-01-09 21:38:08

Jenom ještě dodám odkazy aspoň na Wikipedii, bohužel žádný z těch článků není v české mutaci:

Romanův okruh:
https://en.wikipedia.org/wiki/Roman_ring

tam pak docela hezké, i když už odbornější reference:
https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9311026.pdf
Je tam ukázáno, že Hawkingova hypotéza chronologické ochrany, která má bránit časovým paradoxům, má dost velké problémy, přesněji: bez znalosti detailů dnes ještě neznámé kvantové teorie gravitace a s použitím pouze stávajících fenomenologických postupů, kdy uměle lepíme dohromady výsledky z OTR a výsledky z kvantové teorie (tzv. semi-fenomenologická teorie gravitace), to vypadá, že Hawkingova hypotéza neplatí, tzn. že samotná OTR plus fenomenologicky dolepené kvantové jevy chronologickým paradoxům nezabrání. Konkrétně se v článku ukazuje, že je možné z červích děr hypoteticky sestrojit stroj času, který sám sebe nezničí efektem zpětného echa, které funguje podobně jako parazitní zvuková zpětná vazba v systému mikrofon-reproduktor.

https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9702043.pdf
Zde je vlastně vylepšený důkaz předchozího článku, demonstrovaný na konkrétní konfiguraci Romanova okruhu postaveného ze čtyř červích děr.

Hawkingova hypotéza chronologické ochrany je zmíněna zde:
https://en.wikipedia.org/wiki/Chronology_protection_conjecture

zde pak něco málo o uzavřených časupodobných světočárách, které umožňují tělesu dostat se do své vlastní minulosti (a tím tedy umožnit časový paradox):
https://en.wikipedia.org/wiki/Closed_timelike_curve

Godelův rotující vesmír:
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del_metric
(viz jeho část "Closed timelike curves")

Einstein-Cartanova teorie:
https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein%E2%80%93Cartan_theory
Je vlastně zajímavé, že tato teorie nikdy nevyšla ze stínu Einsteinovy OTR, ačkoliv Einstein je jeden z jejích autorů. Tato teorie přitom předpovídá prakticky totéž co OTR, pouze se vyhýbá singularitě v bodě nula při gravitačním kolapsu - podle této teorie kolabující hmota plynule vytvoří Einstein-Rosenův most, tedy červí díru, za kterou se dále rozpíná do nově vytvářeného vesmíru expandujícího za horizontem černé díry. Analogicky tato teorie odstraňuje singularitu v počátku Velkého třesku. Nicméně ačkoliv byla tato teorie svého času opomíjena dost neprávem (poprvé byla navržena už v roce 1922), dnes už je dost nemoderní, protože sice umí odstranit singularity, ale neumí vysvětlit spoustu jiných věcí jako je např. inflace, temná hmota a temná energie, a není renormalizovatelná, takže kvantová verze se z ní udělat také nedá. Dnešní teoretičtí fyzici jsou dost zmlsaní, a v nepřeberném množství dnešních moderních alternativ k OTR proto dávají přednost jiným teoriím.

Odpovědět


Re: Re: Re: Re: Bachův ani Weylův tenzor nic takového neukazuje

Pavel Brož,2019-01-09 23:49:02

Vlastně jsem si ještě uvědomil, že pro laiky bude vůbec ze všech možných zdrojů o cestování časem nejlepší knížka "Černé díry, červí díry a stroje času" od Jima al-Khaliliho. Je to první a zatím jediná česká popularizační monografie na toto téma. Jim al-Khalili je mimochodem dost fascinující týpek, je to žák Johna Stewarta Bella, autora známých Bellových nerovností, které sehrály význačnou roli v chápání kvantové teorie a jejích alternativ. Zajímavé je, že Jim al-Khalili má téma cestování časem jenom jako své hobby, jeho profesní parketou je jaderná fyzika, v níž publikoval nejen odborné, ale i popularizační texty (je např. spoluautorem i v českém jazyce vyšlé knížky "Jádro, cesta do srdce hmoty", ve které jsou mnohá atraktivní témata z jaderné fyziky popsána laikům velice přístupnou formou).

Odpovědět


Re: Re: Re: Re: Re: Bachův ani Weylův tenzor nic takového neukazuje

Karel Ralský,2019-01-11 17:45:40

Děkuji za odkazy až budu mít trochu času podívám se na ně.

Odpovědět

Také díky

Vladimír Wagner,2019-01-04 08:07:19

Moc díky Pavlovi a Josefovi, přesně takové články (ze všech možných oborů) jsou jedním z důvodů, proč mám rád Osla a jeho redakci.

Odpovědět

...

Jan Balaban,2019-01-04 07:40:01

Video malo začať Darwinom, podobne ako začal Luděk Sobota. Tak.

Odpovědět

poděkování Josefovi za video

Pavel Brož,2019-01-03 16:31:08

Rád bych touto formou poděkoval Josefovi Pazderovi za dodané obrázky, ale především za senzační video, které sehnal a jehož informační hodnota mnohonásobně převyšuje můj článek. Článek jsem dodal Josefovi jako holý text, prostě proto že bytostně nesnáším obrázky, myšleno samozřejmě pokud se s nimi mám sám trápit (moje krédo je že obrázky nejsou nezbytné, jelikož inteligentní čtenář umí číst, a kromě toho dá dost práce nějaké volně publikovatelné najít, nedejbože snad vytvořit).

Video s přednáškou RNDr. Roberta Švarce, které dodal Josef, je opravdu úžasné, obecná teorie relativity a příbuzná témata, jako kosmologie a gravitační vlny, jsou v něm podány laikům přístupnou formou, a proto ho mohu vřele doporučit všem čtenářům, kteří se o tyto obory zajímají.

Odpovědět


Re: poděkování Josefovi za video

Milan Krnic,2019-01-03 17:25:31

V rámci paradigma nepochybně skvělé. Díky vám oběma!

Odpovědět


Re: poděkování Josefovi za video

Josef Pazdera,2019-01-03 17:31:58

Tak přesně k tomuto by diskuse sloužit neměla. Ale když už, tak děkovat tam, kam to patřilo. A sice na Brněnskou hvězdárnu, kde se nám spřízněná parta nadšenců, o vznik videa postarala. Pavlovi Brožovi já děkovat nebudu. Dva roky odmítá dar v podobě papouška a vymlouvá se, že už má dva psy a nějaké kočky. Mimochodem, je to magor. Nejen, že píše na Osla články, on ho ještě sponzoruje... S úctou Josef.

Odpovědět


Re: Re: poděkování Josefovi za video

Milan Krnic,2019-01-03 18:16:56

Kolegové teoretici by vám neporadili, jak to spočítat, aby vám vyšel u pana Brože? :)

Odpovědět


Re: Re: Re: poděkování Josefovi za video

Pavel Brož,2019-01-03 19:55:23

Toho papouška kakadu od Josefa nechci z toho důvodu, že vím, jak hodně ho má Josef rád a jak nerad by ve skutečnosti byl, kdybych jeho nabídku přijal. Pokud by mi toho papouška opravdu chtěl věnovat, tak by mi přece nejprve neříkal, že u něj postupně zobákem přecvakal kabely od rychlovarky, mikrovlnky, televize, počítače, odlámal lamely o dveří, vyzobal klávesnice z jeho notebooku a ucvaknul lustr.

Odpovědět


Re: poděkování Josefovi za video

Radoslav Porizek,2019-01-06 14:24:52

Gravitacne vlny
su pre laikov celkom putavo vysvetlovane aj v relacii Pod Lampou (Martin Mojžiš, Vladimír Balek):
https://www.tyzden.sk/podlampou/46368/pod-lampou-zazrak-gravitacnych-vln/

Odpovědět

Bomba!

Rudolf Velen,2019-01-03 10:38:57

Držím palce!

Odpovědět

Gratulace!

Pavel R.,2019-01-03 10:27:30

Odpovědět




Pro přispívání do diskuze musíte být přihlášeni
















Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace