Psal se rok 1960, když mladý a nadějný astronom Frank Drake poprvé namířil 26-metrový talíř radioteleskopu v Green Banku k obloze, konkrétně ke Slunci podobným hvězdám Tau Ceti a Epsilon Eridani. Zajímalo ho jediné: jsou-li tam radioastronomové taky.

Nebyl to zdaleka první pokus o naladění mimozemské radiostanice – to bychom se museli vrátit až na počátek 20. století k Teslovi a Marconimu. Nicméně s mizející vírou v Marťany se mimozemské civilizace postupně přesunuly k nedosažitelně vzdáleným hvězdám. Tak se to alespoň jevilo až do roku 1959, kdy dva radioastronomové z Cornellovy univerzity, Giuseppe Cocconi a Philip Morrison, vypočítali, že nic není nedosažitelné, pokud máte dostatečně velkou anténu. Třeba zrovna takovou, jakou právě vybudovali v National Radio Astronomy Observatory v západoviržinském Green Banku. O sedm měsíců již jejich kolega Frank Drake přešel od teorie k praxi a spustil poeticky nazvaný Projekt Ozma. Ani po sto padesáti hodinách měření sice nezaznamenal vůbec nic (s čestnou výjimkou prolétajícího letadla), přesto se však jeho pokus stal počátkem hnutí SETI (Search for Extra-Terrestrial Intelligence) a vzbudil ohromnou vlnu nadšení mezi odbornou i zcela neodbornou veřejností.

Frank Donald Drake. Americký astronom a astrofyzik zapojený v projektu hledání mimozemské inteligence s názvem SETI. Je tvůrcem Drakeovy rovnice  . Kredit: Raphael Perrino,CC BY 2.0.

I proto se Drake následujícího roku rozhodl diskrétně svolat do odlehlého Green Banku desetičlennou skupinu elitních vědců z nejrůznějších oborů, aby posoudili, jakou má naslouchání nepozemšťanům naději na úspěch a zda má vůbec smysl v takových experimentech pokračovat.

Organizace se ujal raketový vědec J. P. Pearman, chybět nemohl Drakeův inspirátor Philip Morrison, astronomický koryfej (a také exoplanetární vizionář) Otto Struve, vycházející hvězda americké astronomie Carl Sagan (teprve o rok dříve získal doktorát, a brzy se měl stát jedním z nejpopulárnějších vědců 20. století), biochemik Melvin Calvin (který, jen tak mimochodem, v průběhu setkání dostal Nobelovu cenu) nebo třeba neurovědec John C. Lilly, který tou dobou rozjížděl ambiciózní projekt komunikace s delfíny.

Aby se diskuse mezi velkými osobnostmi tolika různých oborů nezvrhla v chaos, Drake se rozhodl sepsat jednotlivá témata, která by měla být prodiskutována – tedy faktory určující pravděpodobnost (ne)úspěchu pátrání po mimozemské inteligenci – v logickém pořadí od věd exaktních až po společenské. A když už je měl pěkně pohromadě, jako správného fyzika ho napadlo sestavit z nich velmi jednoduchou rovnici, okolo níž se pak točila celá legendární konference v Green Banku. Mladý Frank Drake si jistě myslel, že tím užitečnost „jeho“ rovnice skončila, jak vidno z toho, že se ji zprvu ani neobtěžoval zaznamenat, natožpak publikovat. Zpopularizoval ji až Carl Sagan, v čemž byl tak dobrý, že si spousta lidí myslela, že ji vymyslel on. Diskuse, kterou v roce 1961 Drakeova rovnice pomohla rozproudit, však neskončila dodnes.

Drakeova rovnice

N = R* · f_p · n_e · f_l · f_i · f_c · L

Tak to je ona. Pojďme si ji tedy pěkně rozebrat.

N ... počet civilizací v naší Galaxii, které bychom mohli detekovat s pomocí radioteleskopů

R* ... průměrná rychlost zrodu hvězd v Galaxii (počet nových hvězd za rok)

f_p ... podíl hvězd s planetami (číslo mezi 0 – 1)

n_e ... typický počet obyvatelných planet v planetární soustavě (číslo větší než nula)

f_l ... podíl obyvatelných planet, kde vznikne život (číslo mezi 0 – 1)

f_i ... podíl planet se životem, kde se vyvine inteligence (číslo mezi 0 – 1)

f_c ... podíl inteligentních druhů, které jsou technologicky schopné a zároveň ochotné vysílat detekovatelné radiové signály do vesmíru (číslo mezi 0 – 1)

L ... doba, po kterou komunikující civilizace typicky vysílá radiové signály, než zanikne nebo ji to přestane bavit (v rocích)

Rovnici můžeme podle chuti upravit, například směrem k jakékoli detekovatelné formě komunikace, nebo třeba k civilizacím obecně, bez požadavku na jejich viditelnost, podle toho, k jakému N chceme vlastně dospět.

Jak nepochopit Drakeovu rovnici a udělat ze sebe osla

Mnoho laiků (a zjevně nejen laiků) má jeden problém. Jakmile vidí rovnici, začnou ji brát ukrutně vážně, jako nějakou zjevenou pravdu. Nebo se ji alespoň snaží vypočítat. Což může být jistě ku prospěchu například u zkoušek z fyziky či matematiky.

Když se ovšem pokusíme o dosazení do Drakeovy rovnice, narazíme na zásadní problém. Co dosadit? Protože členy se mezi sebou násobí, žádný nelze zanedbat, neznalost byť jen jediného z nich nám efektivně zabrání dospět k aspoň trochu důvěryhodnému číslu N. Ve skutečnosti ale ze členů dokonale neznáme ani jeden. Pouze první dva faktory R* a f_p dokážeme stanovit poměrně přesně (což v astronomii znamená s nejistotou menší než jeden řád), v ostatních však tápeme v rozsahu mnoha řádů, a směrem doprava se míra naší nejistoty pouze stupňuje. Máme tedy rovnici, ale nevíme, co do ní dosadit! Jistě si můžeme něco vycucat z palce, ale jak máme zažito z hodin matematiky, to se přece s rovnicemi nedělá!

Stephen Webb (narozen 25. února 1963). Fyzik a autor řady populárně-vědeckých a matematických knih a také akademických publikací. Kredit: TED.

Máme si snad významně zaklepat na čelo, s tím, že psát něco tak zbytečného a neužitečného bylo bohapustým plýtváním křídou? Či ještě něčím horším? Michael Crichton, vynikající autor technothrillerů včetně legendárního Jurského parku, si to rozhodně myslel, a dokonce si Drakeovu rovnici v jedné ze svých přednášek vybral za etalon pavědy v rouše vědeckém:

„Problém je ... že žádný z těchto členů není poznatelný ... jednoduše neexistuje žádný způsob, jak dospět k informovanému odhadu. Jsou to prostě jen předsudky. ... Drakeova rovnice doslova nic neznamená. (...) Drakeovu rovnici nelze testovat, a tudíž SETI není žádná věda. (...) SETI je bezpochyby náboženství.“ (M. Crichton, Caltech Michelin Lecture, 17. ledna 2003).

Frank Drake si ovšem jako profesionální fyzik byl dobře vědom, co to vlastně píše, se všemi nedostatky. A jistě ani nechtěl lacinými triky a kvazivědeckými bláboly obluzovat důvěřivé publikum, protože to v Green Banku roku 1961 jaksi absentovalo – akce se konala s důsledným vyloučením veřejnosti, a přítomní vědci rozhodně žádní naivkové nebyli. Ke Crichtonově eseji lze tedy dodat snad jen okřídlené „Ivane! Ivane! Nic jsi nepochopil!“

Drakeova rovnice je totiž hlavně vyjádřením míry naší nevědomosti. Jakési sokratovské „vím, že nic nevím“ rozepsané do podoby rovnice. Jakou to má výhodu? Můžeme si jasně říci, kde přeci jen něco víme, a kde opravdu nic nevíme. A především můžeme o těch jednotlivých nejistotách diskutovat o něco smysluplněji a spořádaněji, když je máme hezky seřazené – a o to Drakeovi doopravdy šlo, totiž aby se v Green Banku probrala jednotlivá témata a rokování se nezvrhlo v chaos.

Drakeova rovnice je především myšlenkovým experimentem, intelektuální hříčkou, která působí na první pohled absurdně, ovšem pomáhá nám porozumět nějaké důležité zákonitosti, nebo nás vyprovokovat k zamyšlení. Máme snad starého dobrého Schrödingera podezírat z týrání zvířat nebo Einsteina ze skoku do černé díry a vystřelení svého dvojčete relativistickou rychlostí do vesmíru? O odbornících z oblasti etiky přivazujících nevinné oběti do kolejiště ani nemluvě. Podobně naivní by bylo předpokládat, že by si Drake myslel, že se dosazením do své rovnice skutečně dobere konkrétní hodnoty N, nebo by to očekával od svých posluchačů.

Bohužel, ne všichni pochopili. Zatímco Crichton si z Drakeovy rovnice udělal „slaměného panáka“, kterého pak efektně rozcupoval, jiní jsou schopni s ní pracovat pomalu s přesností na tři desetinná místa. Pak můžeme na stránkách denního tisku či na „těch internetech“ číst palcové titulky, že „V naší galaxii existuje 36 mimozemských civilizací.“ A nevěřte tomu, když to tvrdí vědci! To je samozřejmě krutě špatně. Nebo přesněji, řečeno s Wolfgangem Paulim, „dokonce ani ne špatně“!

Fermiho odhad

Drakeovu rovnici můžeme brát jako cvičení v disciplíně takzvaného Fermiho odhadu. To je způsob, jak s minimem informací dospět alespoň k velmi hrubému odhadu, nebo horním a dolním mezím zcela neznámé veličiny. Zpravidla nám stačí uvažovat v řádech. Například kdyby nás zajímalo, kolik může být v ČR zubařů, ale neměli jsme po ruce Google, můžeme uvažovat následovně: máme tu zhruba 10 000 000 lidí (10⁷), kteří chodí k zubaři jednou ročně, přičemž rok má přibližně 300 dnů, to jest 33 333 pacientů denně. Můžeme odhadnout, že zubař za den ošetří 10 pacientů (bude to víc než jeden, ale méně než sto), tedy bychom potřebovali 3 333 zubařů. Vzhledem k tomu, že v ČR je kolem 9000 zubařů, zmýlil se tento odhad „jen“ trojnásobně. Což není tak špatné, když uvážíme, že jsme začínali jen s minimálními informacemi a čísla „stříleli od boku“ s přesností jednoho řádu. Konfrontováni s realitou pak můžeme začít uvažovat nad tím, kde leží největší zdroj naší nepřesnosti. S Drakeovou rovnicí je pochopitelně velikost naší chyby nesrovnatelně větší – například proto, že s mimozemskými civilizacemi zpravidla nemáme tolik osobních zkušeností jako se zubaři. Jistý reality check nám ale přesto umožňuje – můžeme se totiž podívat, jestli výsledné N je slučitelné s pozorováním, tedy s faktem, že nám dosud žádný ET nezavolal, ani nezaklepal na dveře.

Fermiho paradox bez Fermiho a bez paradoxu

Absence pozorovatelných mimozemšťanů se v literatuře často označuje jako Fermiho paradox. Ano, jmenuje se po stejném Enricu Fermim jako výše zmíněná technika řádových odhadů. V tomto případě ovšem vcelku neprávem. Fermi se nad otázkou zamyslel pouze letmo, během nezávazné konverzace o tehdy populárních „létajících talířích“ u oběda s kolegy v atomových laboratořích v Los Alamos. Právě zde měla padnout jeho okřídlená hláška „kde tedy všichni jsou?“ Vzhledem k značně rozdílnému podání účastníků onoho památného oběda neznáme ani její přesné znění, a je tedy jen o málo věrohodnější než známý citát T. G. Masaryka „Nevěřte všemu, co najdete na Internetu!“ Pokud se pamětníci nemýlili, Fermi nezavrhl existenci mimozemšťanů jako takových, jejich absenci na Zemi bral spíše jako důkaz nemožnosti či nepraktičnosti mezihvězdného cestování. Netušíme ale, jak přesně Fermi uvažoval (dokonce ani jestli použil svou oblíbenou techniku řádových odhadů) a k čemu dospěl. On sám totiž na toto téma nikdy nic nenapsal. Na rozdíl od celé řady autorů před Fermim i po něm, kteří své mnohem systematičtější úvahy poctivě publikovali (Bernard Fontenelle, 1686, Konstantin Ciolkovský, 1933, Michael Hart, 1975). Ovšem protože svět není fér, nikdo po nich nich žádný paradox nepojmenoval.

Michael Shermer. Historik vědy a zakladatel Společnosti skeptiků. Kredit: Loxton, CC BY 3.0

I termín paradox je poněkud nešťastný. Jistě, pokud do Drakeovy rovnice dosadíme velmi optimistická čísla, a vyjde nám, že Galaxie se mimozemskými vysílači jenom hemží, může nám „kosmické ticho“ připadat poněkud podezřelé (ale paradox je i tak docela silné slovo). Stejně snadno, ba snadněji lze ovšem dospět k závěru, že jsme v Galaxii úplně sami, a pak na „mlčení vesmíru“ není překvapivého ani záhadného zhola nic. Fermi sám podle dochovaných svědectví o žádném paradoxu nemluvil.

Zlí jazykové proto oprávněně tvrdí, že Fermiho paradox není ani Fermiho, ani paradox (Gray, 2015). Samotný termín „Fermiho paradox“ použil až v roce 1977 David Stephenson. Zavádějící označení, jakkoli problematické, pak začalo žít vlastním životem a už se ho asi nezbavíme. Můžeme s tím nesouhlasit, můžeme o tom vést spory...

Konstruktivní kritika Drakeovy rovnice a její alternativy

Drakeova rovnice samozřejmě není tesaná do kamene. Ledacos se jí dá vytknout, i když odhlédneme od kvantitativní nejistoty v parametrech. Samotné vstupní proměnné jsou nejen neznámé, ale mnohdy špatně definovatelné, a to už jaksi z principu. Definice „obyvatelné planety“, „života“ nebo „inteligence“ jsou – každá ve svém příslušném vědním oboru – předmětem mnoha debat bez jasného konsenzu. A zvolená pracovní definice pojmů pak do jisté míry promlouvá i do našich odhadů.

Drakeova volba faktorů a dalších vstupních předpokladů byla poměrně arbitrární, a mnozí autoři si proto napsali vlastní rovnici dle svého vkusu, naturelu a světonázoru (aniž by tím, ovšem, jakkoli pohnuli s problémem nedostatku stupních dat). Mnozí ji obohatili i o zbrusu nové prvky, například opakovaný vznik civilizace na téže planetě (Zubrin, 1999), nebo možnost jejího šíření do nových hvězdných soustav, což vedlo například k tzv. perkolačním modelům, v nichž je šíření kolonistů mezi hvězdnými systémy matematicky pojednáváno podobně, jako prosakování vody skrze porézní materiál.

Na Drakeově rovnici si můžeme povšimnout, že jde o rovnici pro ustálený stav, dynamickou rovnováhu. Ročně nám vznikne R* hvězd, na určitém procentu z nich ( f_p · n_e · f_l · f_i · f_c) vznikne komunikativní civilizace, která bude fungovat L roků, než zanikne. Počet civilizací se tedy v čase nemění, a z výpočtu můžeme zcela vypustit i dobu potřebnou k vývoji civilizace, protože ta výsledek nijak neovlivní, ať je dlouhá, nebo krátká.

Je to ale pravda? Nemusela by být. Galaxie se totiž v čase proměňuje, hodnoty přinejmenším některých parametrů se tedy musejí postupně měnit – v novorozené Galaxii bylo R* vysoké, ale f_p a n_e naopak nulové, protože ještě chyběly těžké prvky, z nichž by se planety formovaly. Teprve od určité chvíle začala být existence planet a života na nich vůbec myslitelná. Doba „gestace“ od vzniku planety po vznik civilizace byla alespoň v našem případě souměřitelná s celkovým stářím Galaxie. Není tedy vyloučeno, že jsme do kosmu přišli v přelomovém období, kdy se N poprvé začalo zvedat od nuly, a jsme tak mezi prvními vzniklými civilizacemi.

Rovnici ale klidně můžeme pojmout i jinak. Například tak, že z množiny hvězdných soustav v Galaxii budeme postupně vyškrtávat „nehodící se“, až nám zůstanou jen ty, kde se vyvinula komunikativní civilizace. Anebo nám nezůstane vůbec žádná kromě té naší. Tento postup použil ve své knize Stephen Webb.

Kolik těch mimozemšťanů tedy je?

Po pravdě řečeno, Drake nebyl tak docela první, kdo se pokusil odhadnout počet mimozemských civilizací. Už Cocconi s Morrisonem o rok dříve totiž ve svém článku relevantní faktory vypíchli, byť slovně a ne ve formě rovnice, a spokojili se s konstatováním nenulové šance na úspěch. Krátce po nich se známý astronom Harold Shapley v denním tisku pustil do spekulativních odhadů, v nichž dospěl k číslu 100 000 000 obydlených planet v pozorovatelném kosmu.

Na samotné konferenci v Green Banku účastníci odhadli N v širokém rozmezí 10³ – 10⁹ komunikativních civilizací v Galaxii. Číslo poblíž horní hranice by znamenalo nezanedbatelnou pravděpodobnost, že se některá z nich vyskytne v dosahu našich radioteleskopů. V dané době to rozhodně neznělo nerealisticky, vzhledem k tomu, že s pátráním po nepozemských transmisích se teprve započalo. K optimismu přítomné vědce přiměla mimo jiné i výřečnost Johna Lillyho, který argumentoval, že pokud na Zemi existují hned dva inteligentní druhy (člověk a delfín), musí se inteligence zákonitě objevit na jakékoli oživené planetě.

Carl Sagan v seriálu Kosmos (1980) dospěl k úctyhodnému číslu 10⁶. Pozdější odhady ale byly podstatně méně optimistické. Michael Hart (1977) usoudil, že mimozemšťané jednoduše neexistují, také Stephen Webb (2002) se přiklonil k tomu, že jsme v Galaxii nejspíš sami, a ve stejném roce Michael Shermer (2002) dospěl k číslu 400. Claudio Maccone (2012) zvolil zevrubně statistický přístup a dospěl k tomu, že N = 4590, avšak s rozptylem připouštějícím čistou nulu i desítky tisíc civilizací. Westby a Conselice (2020) vyřešili modifikovanou verzi Drakeovy rovnice, aby dospěli k již zmíněnému číslu 36. Abychom k nim byli spravedliví, dospěli k rozmezí 4 – 211, ale v novinových titulcích se zkrátka lépe vyjímá přesné číslo, i kdyby bylo sebevíc vyspekulované. Samotný Frank Drake zůstal (relativním) optimistou, a v roce 2010 odhadl, že v Galaxii máme 10⁴ kosmických civilizací.

Pokud byste si chtěli zkusit udělat svůj vlastní odhad, můžete vyplnit náš dotazník!

Co z toho plyne?

Počet mimozemských civilizací v Galaxii nám říká, jak daleko by od nás měli být naši nejbližší kontaktovatelní sousedé. Aby měl naději na úspěch Projekt Ozma, pátrající mezi našimi nejbližšími hvězdnými sousedy ve vzdálenosti desítek světelných let, musely by v Galaxii být celé miliardy vysílajících civilizací. Pokud by jich byly milióny, sousedé by byli již stovky světelných let daleko. Stále v dosahu dnešních detekčních metod, ale již bez naděje na rozumný dialog.

Pokud se však počet vysílajících mimozemšťanů v naší Galaxii pohybuje v řádu tisíců, stovek, desítek či dokonce jednotek, byli by od nás tisíce až desetitisíce světelných let. V době zachycení zprávy by vysílající civilizace už ani nemusela existovat, a pokud by jejich vysílání nebylo nesrovnatelně silnější než všechny naše dosavadní pokusy v tomto směru, byli by pro nás prakticky neviditelní.

N ale může být klidně i mnohem menší než jedna. Co by v praxi znamenalo N = 1/10? V prostorové dimenzi to, že komunikativní mimozemskou civilizaci najdeme jen v každé desáté galaxii, potažmo miliony světelných let daleko. Nebo to můžeme interpretovat tak, že v naší Galaxii 90 % času žádná civilizace nevysílá, a šance, že bychom se s nějakou potkali v čase, je tím pádem mizivá.

Drakeovu rovnici či některou z jejích modifikací již deset let pravidelně vyplňujeme se studenty Základů astrobiologie. S výjimkou jednoho ročníku, kde se sešli mimořádní optimisté, jsme se nikdy k pořádnému Fermiho paradoxu nedopracovali. Podle drtivé většiny dosazení jsou naši sousedé tak daleko, že by nikoho nemělo překvapovat, že jsme je zatím neviděli ani neslyšeli.

K jednoznačnému řešení Drakeovy rovnice jistojistě nikdy nedospějeme. To už nám spíš zavolají ti mimozemšťané. To ale neznamená, že nemá smysl pracovat na řešení jednotlivých neznámých – a to se již děje. Exoplanetární vědci za posledních třicet let docela uspokojivě vymezili f_p (které zřejmě není daleko od hodnoty 1) a brousí si zuby na n_e. Je představitelné, že za další tři dekády budeme mít v kolonce splněno celou astrofyzikální část rovnice.

Největší váhu z faktorů Drakeovy rovnice má ten poslední, faktor L, doba existence civilizace. A prozatím máme jednu jedinou cestu, jak ho stanovit: demonstračně. Snažme se tedy, aby jeho hodnota byla co nejvyšší.

Dotazník v české i anglické jazykové mutaci naleznete zde.

Budeme moc rádi, když nám jej vyplníte (nezabere to více než půl hodiny) a případně pozvete i své přátele a kolegy. Na závěr se dozvíte, jaká čísla z Drakeovy rovnice vyšla právě Vám!

S naší troškou do mlýna

Pokud jde o to vyprovokovat lidi k zamyšlení a k diskusi, funguje Drakeova rovnice opravdu znamenitě. V tom se Drake projevil jako skutečný génius popularizace vědy, i když to nejspíš ani nezamýšlel. Paradoxně je tomu tak právě proto, že správné řešení nikdo nezná, nemusí mít nikdo obavu, že by odpověděl nesprávně.

Naše neformální astrobiologická skupina na Přírodovědecké fakultě UK, sestávající z Jana Tomana, Julie Nekola Novákové a mojí maličkosti, letos spustila mezinárodní dotazníkovou studii věnovanou právě Drakeově rovnici. Naší ambicí samozřejmě není zjistit, jak to s mimozemšťany doopravdy je! Skutečným cílem je prozkoumat, jak lidé k odhadování pravděpodobnosti mimozemského života – tváří v tvář závratným nejistotám – vlastně přistupují. Jak závisí náš optimismus nebo pesimismus na našem vzdělání a vystudovaném oboru? Budou se odhady lišit mezi národnostmi, nebo v závislosti na našem světonázoru? Liší se výsledek dosazení do Drakeovy rovnice od jednoduchého odhadu takříkajíc „z voleje“? To jsou jen některé otázky, které chceme zodpovědět společně s našimi zahraničními partnery z Francie a Dánska v aktuálním projektu 4EU+ nazvaném jednoduše „DRAKE“.

Poděkování:

Článek vznikl za podpory projektu 4EU+ mini-grantu University Karlovy „Uncertain Worlds: Rethinking the Drake Equation and Earth's Uniqueness (DRAKE)“ (MA/25/F4/0/021)

Doporučená literatura a zdroje použité v článku:

Přednášky spolupracovníků projektu DRAKE (v angličtině)

Přednášky autora dostupné na Youtube:

Tomáš Petrásek: Mimozemšťané před branami (Věda kontra iracionalita)

Tomáš Petrásek: Volání do ticha: Jak se dorozumět s mimozemšťany (Hvězdárna a planetárium Brno)

Tomáš Petrásek: Fermiho paradox (Pátečníci)

Facebooková stránka Základy astrobiologie

Morrison, Philip, and Giuseppe Cocconi. "Searching for interstellar communications." Nature 184.4690 (1959): 844-846.

Michael Crichton: Aliens Cause Global Warming. Caltech Michelin Lecture. 17. 1. 2003.

Gray, R. H. (2015). The Fermi paradox is neither Fermi's nor a paradox. Astrobiology, 15(3), 195-199. https://arxiv.org/abs/1605.09187

Stephenson, D. G. (1977) Factors Limiting the Interaction Between Twentieth Century Man and Interstellar Cultures, JBIS 30, No. 3:105-108.

Robert Zubrin: Entering Space: Creating a Spacefaring Civilization (1999). ISBN 978-0874779752

Stephen Webb (2007): Kde tedy všichni jsou? Paseka, ISBN: 978-80-7185-877-5.

Westby, T., & Conselice, C. J. (2020). The astrobiological Copernican weak and strong limits for intelligent life. The Astrophysical Journal, 896(1), 58.

Maccone, C. (2012). The statistical Drake equation. In Mathematical SETI: Statistics, Signal Processing, Space Missions (pp. 3-72). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg.

Jiří Hofman: Drake strikes back! (Aldebaran). České převyprávění Macconeho výpočtu.
Frank Drake, Dava Sobel (2010). The Origin of the Drake Equation.