Matematický vesmír Maxe Tegmarka  
Máme si snad myslet, že matematika nepředstavuje popis reality, ale že je s touto realitou totožná? Že matematika, fyzika a kosmologie jedno jest? Velmi neortodoxní pohled na věc a záplava myšlenkových experimentů.

Už nevím, kde přesně jsem poprvé narazil na jméno Maxe Tegmarka, ale bylo to před cca 15 lety a pamatuji si, že v souvislosti s pojmem „Tegmarkova katedrála“. Trochu si vzpomínám i výklad kolem: že existují různé matematické struktury a některé z nich se fyzikálně realizují. Samotná Tegmarkova kniha Matematický vesmír (české vydání právě přichází na pulty) ovšem zavádí pojem matematické demokracie, v tom smyslu, že fyzikální (nebo lépe říkat fyzicky?) realizaci přiznává všem matematických strukturám.

Takhle řečeno to samozřejmě vypadá hodně divně, a také to hodně divné je. Jak bude třeba vypadat fyzická realizace množiny, která obsahuje číslo 3? A navíc tak obrovské multiverzum, tedy úhrn všech (evidentně nekonečně) fyzikálně realizovaných matematických struktur – to není zrovna teorie v souladu s Occamovou břitvou.

Potíž je jen v tom, že i konkurenční řešení určitých problémů, ať už jde o multiverza nebo vztah matematiky a fyziky, vedou k divným důsledkům. Matematický vesmír myslím málokoho přiměje uvěřit Tegmarkovi, ale možná zvýší kritičnost k jiným kosmologickým modelům.

 

Multiverzum v mnoha verzích

Matematický vesmír je v první řadě kniha o kosmologii. Takových vychází hromady a (subjektivně) to zase není tak zajímavé, o inflaci, kosmologické konstantě, superstrunách či reliktním záření jsme toho už mohli přečíst hromady a autoři se nutně opakují, třeba co se týče základů relativity nebo kvantové fyziky.

Inspirativní a myšlenkově podnětné začne vše být až v okamžiku, kdy Tegmark nadnese problém multiverza. Co se pod tím vůbec může myslet? Kus „našeho“ vesmíru, akorát od nás navždy oddělený kvůli konečné rychlosti světla/rozpínání? Vesmíry vzniklé odlišným vývojem (jiným kolapsem) vlnové funkce (mnohasvětová interpretace kvantové fyziky)? Vesmíry, kde platí nejen jiné počáteční podmínky, ale i odlišné fyzikální zákony? A jak jsou tyto různé teorie vědecky testovatelné – když si uvědomíme, že „paralelní vesmíry“ nám nejsou přímo přístupné?

 

Mimochodem, odpověď na poslední otázku zní, že s nějakými verifikacemi či falzifikacemi je to vůbec krajně ošemetné. Z dnešní převažující (?) kosmologie vyplývá, že nejenom všechny možné verze reality se realizují, ale realizují i nekonečněkrát. Máme-li udělat nějakou předpověď pro náš vesmír, většinou předpokládáme, že je nějak typický. Ovšem pokud i všech netypických vesmírů existuje nekonečně mnoho, jakákoliv předpověď se sráží s matematikou, tedy s porovnáváním nekonečen. A zde narazíme. Mimochodem, tohle tvrdí nejen Tegmark, ale i jiní kosmologové. Začneme se zamotávat, Cantorova teorie množin (takové ty hračky, jak celých čísel je stejně jako sudých a racionálních, ale méně než reálných, respektive množiny mají příslušné mohutnosti), teorie míry…

Osobně si myslím, že když se narazí na takový problém, bývá to důsledek chyby v předpokladech a než tlouct hlavou do zdi, je efektivnější se zabývat chvíli něčím jiným. Však ono se to nějak časem vyřeší. (Asi jako problém andělů na špičce jehly se vyřešil prostě tím, že lidé ztratili potřebu ho řešit – např. proto, že žádní andělé neexistují.)

 

Je třeba si také uvědomit, že nežijeme v náhodném prvku multiverza, ale ve velmi speciálním – které umožňuje inteligentní pozorovatele. Popíráme tedy mimochodem koperníkovský princip, podle něhož naše místo ve vesmíru není nijak výjimečné. Spíš asi je, což dále komplikuje jakékoliv předpovědi.

Tegmark mnohé hádanky ilustruje pomocí myšlenkových experimentů. Ty jsou formulovány velmi chytře, ale po pravdě řečeno na rozdíl od různých paradoxů dvojčat Tegmarkovy hádanky nemají často jednoznačné řešení, nebo mi to tak alespoň přijde (někdy na rozdíl od autora.)

Následující problémy myslím hezky ilustrují, na jak tenkém ledě se pohybujeme.

Tak například, jsme Boltzmannovými mozky? Tegmark se domnívá, že rozhodně nikoliv, já bych to zdaleka tak jednoznačně neviděl. Mimochodem otázka Bolztamnnových mozků má podle mého i řadu podobností se simulačním argumentem, tedy otázkou, zda žijeme ve fyzickém nebo simulovaném vesmíru. Tvrzení, že v simulaci lze spouštět další simulace, tudíž na jednu „původní realitu“ připadá mnoho simulací a tudíž je pravděpodobnější, že žijeme v simulaci, není rozhodně bezproblémové.

(Úvod to teorie Boltzmannových mozků zde na Oslu. Tegmarkova hádanka s Boltzmannovými mozky na Sciencemag)

 

Jiný Tegmarkův experiment se zase týká pravděpodobnosti hodu mincí a probouzení Šípkové Růženky. Poněkud to připomíná známý paradox se skřínkami, kdy zvolíte jednu skřínku ze 3, rozhodčí pak otevře ze zbylých dvou skřínek jednu prázdnou a zeptá, zda trváte na své původní volbě nebo ji chcete změnit. S Růženkou je to ovšem ještě zamotanější a jak Tegmark připouští, na řešení se neshodnou ani odborníci (Hádanka na Sciencemag).

A konečně do třetice, když si představíme verzi Schroedingerovy kočky ve vícesvětové interpretaci kvantové mechaniky, vždy bude existovat větev reality, kde kočka přežije. Lze z toho soudit, že při podobném větvení je tedy kočka nesmrtelná vždy alespoň v jedné verzi? Jsme v té „naší“ větvi podobně subjektivně nesmrtelní my sami (ovšem ostatní nikoliv)? Pokud by to tak bylo, jaké výsledky bychom měli naměřit, jaké speciality by platily pro náš život (zde se zase ukazuje, že z definice můžeme fungovat ve velmi netypické verzi reality)? Mimochodem, čtenáři sci-fi si v této souvislosti mohou vzpomenout na úvodní povídku Grega Egana ze sbírky Axiomat. (Opět rozvedená hádanka na Sciencemag)

 

Po multiverzu ještě povaha matematiky

Tolik tedy trochu tlučení hlavou do zdi v souvislosti s multiverzem. Obdobně těžké problémy nám vyvstanou z jiné strany, když se začneme ptát po povaze matematiky. Jak to přijde, dumá dnes mnoho chytrých lidí, že matematika představuje tak skvěle fungující systém pro popis světa? Co to vlastně matematika je?

Existuje celá řada různých názorů, filozofií matematiky. Podle některých je matematika prostě sociální konstrukt (ale protože různé kultury dospívají k stejným matematickým zákonitostem, tak tenhle názor kromě sociologů skoro nikdo nezastává), jiní považují matematiku prostě za formální systém, jakousi hru, a odmítají se zabývat jejím vztahem k reálnému světu, pak zde máme matematický platonismus, který postuluje svět matematických forem existujících objektivně, „někde jinde“, bez ohledu na matematiky či jiné lidi. Tato představa je sice lákavá, ale když na ni zkusíme aplikovat Occamovu břitvu, celé ta konstrukce se zase rozsype – nebo alespoň rozkýve. Někde jinde, dejme tomu, existuje svět sudých čísel, ale co to má společného s naším světem? To matematici nějak s příslušnými formami tajemně interagují? Zase, k tomu všemu lze načíst hromady literatury, i česky (třeba Pí na nebesích vyšlo poprvé už hodně dávno), díla odborníků i popularizátorů.

 

Teď se konečně dostáváme k tomu, co vlastně nového a od ostatních odlišného tvrdí samotný Tegmark. Podle jeho názoru matematika není popisem světa, ona je příslušným světem. Z čehož vyplývá (respektive – vyplývala by, kdyby tomu tak bylo) řada dalších důsledků. Protože matematické struktury jsou např. bezčasé, pak důsledkem je např. iluzivnost času, totální determinismus, alespoň při pohledu zvnějšku. Matematická demokracie v Tegmarkově pojetí pak znamená, že dokonce každá matematická struktura má nárok na fyzikální realizaci – proč by struktura odpovídající zrovna našemu vesmíru měla být výjimečná. Ale lze to brát i jinak, třeba fyzikální realizaci přiznat jenom nějakému výseku struktur.

Max Tegmark: Matematický vesmír. Argo a Dokořán 2016
Max Tegmark: Matematický vesmír. Argo a Dokořán 2016
Přiznám se, že zrovna v téhle fázi mi přijde, že autorovy představy jsou poněkud zmatené – ale jistě si přečtěte i jeho argumentaci. Tegmark se začne hluboce zabývat otázkami, jaké matematické struktury jsou vlastně přípustné, konečné či nekonečné, vyčíslitelné, bez nekonzistencí? Takže tu do hry vstoupí algoritmy a Turingovy stroje, k tomu Goedelovy paradoxy… Zase je velmi zajímavé a inspirativní si to číst, nicméně stále základní otázka: jak vypadá dejme tomu fyzikální reprezentace matematické struktury – odmocniny ze 3? A zase Occamova břitva – co vůbec z tohoto názoru vyplývá testovatelného?

Podrobněji o tom, jakou matematickou strukturou (strukturou jakého typu – mohla by třeba spadat do třídy abstraktních prostorů) má být dle Tegmarka náš vesmír? K tomu viz přímo úryvek z knihy na Sciencemag.cz http://sciencemag.cz/je-vesmir-matematickou-strukturou/

 

Tegmark podobně jako řada jiných matematiků, fyziků a kosmologů žasne nad tím, že když se zavrtáváme stále hlouběji do reality, opouští nás smysly, selský rozum, intuice (etc.), zůstává jen matematický popis jako to jediné, co funguje. S tím lze souhlasit a opravdu to představuje problém; jak jsme si již ukázali výše, není moc jasné, jakou filozofii matematiky máme kvůli tomu preferovat. Jenže, nemůžu si pomoct: přece tím, že napíšu vlnovou funkci atomu vodíku, atom nevytvořím. To je ten základní problém, jakkoliv příslušná rovnice může představovat jediný efektivní popis. Tegmark si nicméně myslí, že když nakonec o nějakém objektu nedokážeme říct nic jiného, než že mu přiřadíme nějakou matematickou strukturu, vyplývá z toho, že obě věci jsou totožné.

 

Mimochodem mě v této souvislosti napadá, zda matematickou strukturu, která by byla našim vesmírem, bychom vůbec z jeho vnitřku mohli odhalit a zda by ji bylo možné uvnitř vesmíru napsat – zda by se sama do sebe vůbec „vešla“. Skutečně netuším. Některé množiny paradoxně dokážou obsáhnout samy sebe a ještě něco navíc. Možná samotný matematický popis by mohl být i jednoduchý. (A opět: jak z něho pak ale vytvořit celý ten složitý svět v čase, jakkoliv čas může být iluzivní? Jaký typ matematických struktur by vůbec vytvářel vesmíry s časem a jaký bez času?)

 

Není lépe si prostě počkat na data?

Shrnuto, autor se pokouší řešit otázky, na něž příliš uspokojivé odpovědi asi nikdo nezná. Rozhodně doporučuji k přečtení lidem, kteří čtou i jiné tituly o kosmologii. Něco jde přeskočit a začíst se až u toho, kde se Tegmark odlišuje od mainstreamu. Ostatně mnohé úvahy a výše odkazované myšlenkové experimenty jsou zajímavé i bez ohledu na to, co si myslíme o povaze matematiky a jejím vztahu k fyzikální realitě.

Nicméně myšlenkové experimenty možná netřeba přeceňovat. Velký třesk i současné zrychlující se rozpínání vesmíru, temná energie i temná hmota – tyto převratné objevy se udály na základě empirických dat. Mnohé metafyzické záhady tím ztratily na zajímavosti, jiné se vynořily, každopádně kosmologie se tak stala exaktní (nebo alespoň exaktnější) vědou. Možná to bude platit i pro mnohé otázky, s nimiž se pere Tegmark. Něco naměříme a ukáže se, že všechno je jinak, problém je nějak vadně formulovaný nebo irelevantní, podobně jako u těch andělů na špičce jehly. Jinak mi řešení mnohých Tegmarkových problémů skutečně připomíná tlučení hlavou do zdi, přístup „nechme to být a ono se to třeba s novými daty vyřeší bez práce“ samozřejmě ale může být i dokladem mé duševní lenosti...

Autor: Pavel Houser
Datum: 26.10.2016
Tisk článku

Pravopis a tvarosloví. - Brabcová Radoslava
Knihy.ABZ.cz
 
 
cena původní: 98 Kč
cena: 87 Kč
Pravopis a tvarosloví.
Brabcová Radoslava

Diskuze:

zanoření v simulation argument

Josef Skramusky,2016-10-28 15:24:51

Jen poznámka, ono "zanoření" pokud si pamatuji není v simulation argument zahrnuto a není třeba. "tvrzení, že v simulaci lze spouštět další simulace, tudíž na jednu „původní realitu“ připadá mnoho simulací". Spíše se myslím předpokládá, že simulující civilizace pustí více než jednu simulaci tudíž na jednu „původní realitu“ připadá mnoho simulací.

Odpovědět

převratné objevy na základě empirických dat

Milan Krnic,2016-10-27 06:54:11

Uvedené v článku jsou pouze hypotetický konstrukt, a ten bych za převratný objev neoznačoval.

Odpovědět


Re: převratné objevy na základě empirických dat

Dalibor Štys,2016-10-30 16:25:56

Ke každému měření dá vytvořit matematický model, který ho dobře popisuje.

Kdyby se každý v následných měřeních zaměřil na tu část, například, rozsahu měřených hodnot, v níž se výsledek od modelu nejvíce liší, byli bychom v poznání vztahu reality a matematiky mnohem dál. Bohužel je praxe taková, že si naopak experimentátoři vybírají ty oblasti, v nichž se model a měření nejvíce shodují. Pak se matematický model často prohlašuje za pravdu až se posléze stane součástí povinného kurikula.

(A argumentační základnou spolku Sysifos.)

Odpovědět

Realita vs. model

Jaroslav Kousal,2016-10-26 15:14:30

Z pohledu fyzika (primárně experimentálního, s výlety do krajiny modelování a simulací) jsem poněkud alergický na "zbožšťování" modelu - záměnu popisu za popisovanou situaci. Celá fyzika (a prakticky veškeré racionální myšlení) je soubor modelů, nepřesných, ale pragmaticky funkčních.

Jednoduchá heuristika jednotlivých i historických zkušeností říká, že když už máme pocit, že náš model je dobrý či přímo perfektní, příroda se nám hurónsky vysměje a kopne nás obloukem do pozadí. Není tedy žádný dobrý důvod předpokládat, že systém vhodný ke stavbě a popisu modelů (=matematika) je zároveň v nějakém speciálním hlubším vztahu k realitě.

Otázka: Rozlišuje Tegmark model a modelovanou situaci? Z recenze se zdá, že ne.

Odpovědět


Re: Realita vs. model

Richard Palkovac,2016-10-26 17:53:10

Ja mam na tuto temu tiez svoj kratky nazor :

http://riki1.eu/matematika.htm

*

Odpovědět


Re: Realita vs. model

pavel houser,2016-10-26 19:31:59

Tak Tegmark samozrejme vi, ze vsichni kolem to rozlisuji. To, ze postuluje totoznost obeho, modelu a modelovaneho, prave poklada za svuj prinos, vlastni myslenku. Samozrejme argumentuje, proc to tak podle nej je. Dokonce bych se od nej mozna i nechal presvedcit, kdyby tu totoznost nedovedl az do konce a rikal neco jako ze jsou matematicke struktury a fyzicky svet se z nich vyrobi zaskrtnutim tlacitka "fyzikalne realizovat" :-)

Odpovědět


Re: Realita vs. model

Tomáš Habala,2016-10-26 22:54:07

Dirac objavil antihmotu tak, že zobral vážne aj záporné riešenia svojich rovníc, ktoré pre reálny svet nedávali zmysel.

V takýchto prípadoch sa človek samozrejme pýta, či matematika je naozaj len model, alebo či to nie je princíp, ktorý formuje pozorovateľný svet.

Respektívne tým riadiacim prinípom je niečo čo je za fyzikou i matematikou. Matematika má svoju objektívnu stránku a stránku, ktorá je naozaj sociálnym konštruktom. Napríklad to, že používame desiatkovú sústavu je náš výber. Aj to, že matematické štruktúry vyjadrujeme v množinovom axiomatickom systéme najčastejšie v ZF systéme, je náš výber. Aj v Russelovom-Whiteheadovom systéme založenom na logike (Principa Mathematica) sa dali vyjadrovať známe matematické štruktúry. Nepotrebovali by sme pojem "množina".

Takže na tie otázky v článku o tom ako by sa mala vo fyzike realizovať taká a onaká množina je odpoveď, že množiny sa nerealizujú, lebo množna nepatrí do objektívnej stránky matematiky. Množina je subjektívny ľudský konštrukt, ktorým sa človek snaží vyjadriť objektívne existujúce matematické štruktúry.

Odpovědět


Re: Re: Realita vs. model

pavel houser,2016-10-26 23:55:48

ano, takovych pripadu, kdy vec puvodne zkoumana jako matematicka kuriozita, nasla pak odpovidajici strukturu v realnem svete, je cela rada. co z toho vyvozovat je jina otazka. a "objektivne existujici matematicka struktura" je co? pokud tegmark hovori o "abstraktnich prostorech", to byste uznal jako objektivne existujici matematickou strukturu?

Odpovědět


Re: Re: Re: Realita vs. model

Tomáš Habala,2016-10-27 08:21:58

Tá otázka v článku, či by sa tá matematická štruktúra, ktorá tvorí realitu zmestila sama do seba - teda, či ju vôbec v princípe môžme spoznať a vyjadriť, je dobrá otázka. Od pána Gödela vieme, že axiomatické systémy, ktoré obsahujú aritmetiku (t.j. čísla - postupnosť, kde sa dá vždy určiť ktorý člen je predchádzajúci a ktorý nasledujúci) toto nedokážu.

Vieme, že realita je aritmetická už len tým že obsahuje čas, otázka je, či je axiomatická. Myslím si, že máme dobré dôvody sa domnievať, že axiomatická nie je. V tom prípade sa na na ňu nevzťahuje obmedzenie Gödelových viet a je spoznateľná a vyjadriteľná.

Našim problémom je, že nemáme neaxiomatický matematický systém. Máme len axiomatické systémy a tie axiómy si vyberáme sami tak, aby generovali to, čo okolo seba pozorujeme. Je to ale len priblíženie k tomu čo pozorujeme. Zrejme negenerujeme presne to, čo potrebujeme. Niečo je navyše a niečo tam nie je.

Ak by sme našli neaxiomatický systém, nič by v ňom nebolo predmetom nášho výberu ale všetko by bolo tak, lebo to tak objektívne byť musí, tak sa domnievam, že to by bol presne ten systém, ktorý formuje realitu. Inak povedané, to k čomu konverguje fyzika a to k čomu konverguje matematika je jedno a ti isté.

Objektívne existujúce štruktúry sú potom tie, ktoré vyplývajú z toho bezaxiomatického systému a subjektívne štruktúry sú tie nepresnosti, ktoré vyplývajú z našich axióm. Objektívne štruktúry sa fyzikálne realizujú, subjektívne sa nerealizujú.

Odpovědět


Re: Re: Re: Realita vs. model

Tomáš Habala,2016-10-27 08:42:56

Ešte na margo problému "anjeli na špičke ihly". Ono sa to často používa ako príklad nezmyselného problému. V skutočnosti to však bolo dobové vyjadrenie relevantného matematického problému. Špička ihly predstavovala limitne sa zmenšujúcu hodnotu a anjeli nulovú hodnotu. Ono to naozaj bolo myslené takto. Toto bolo myšlienkové prostredie v ktorom Newton a Leibnitz vyvinuli diferenciálny počet. Bol to skrátka užitočný myšlienkový experiment, niečo ako Maxwellov démon alebo Schrödingerova mačka.

Odpovědět


Re: Re: Re: Re: Realita vs. model

pavel houser,2016-10-27 14:36:06

to je pravda, ono slo snad o to, zda se jich tam vejde konecny nebo nekonecny pocet, nicmene samotna zajimavost problemu skutecne zmizela. ale mate pravdu, asi ne kvuli neexistenci andelu; maxwelluv demon je zajimavy bez ohledu na existenci demonu a vymrou-li kocky... (respektive kdyby byl problem zajimavy, dal by se snadno preformulovat do jine metafory, asi. dokonce se to mozna i stava, aniz je hned patrne, ze je to vlastne totez)

Odpovědět


Re: Re: Realita vs. model

Jaroslav Kousal,2016-10-27 01:02:48

Diracova rovnice je hezký příklad dobrého modelu - dobrý model má totiž sílu nejen vysvětlující, ale i předpovídací.
Přesto nevidím důvod ji vnímat jako realitu - jakkoliv je úspěšná (a je to jeden ze vzácných protipříkladů, kdy stálo za to nezahodit další řešení rovnice jako "nefyzikální"), stále není kompletní (i kdybychom byli hodně při zemi, přinejmenším neobsahuje obecnou teorii relativity).

Navíc matematika (minimálně ta "klasická") má velmi jasné limity, např. v problémech mnohoprvkových systémů s nelineárními vazbami - stačí třeba klasický gravitační problém tří těles, zmíněná Diracova rovnice v mnohočásticovém systému nebo turbulence. Můžeme sice namítat, že je to jen nerozvinutostí matematiky teorie chaosu apod., ale to podle mě jen dokládá, že matematika je nástroj vytvářený podle světa, ne naopak. Navíc systémy "polomatematické" až "nematematické" s těmito typy situací nutně problém nemají - každý závodní vodák zvládá porozumění turbulenci na řece líp, než sebelepší analytický model. To, že u tohoto typu problémů se musíme při modelování uchylovat k numerice, abychom spočetli alespoň něco užitečného, mi opravdu nepřijde jako demonstrace matematičnosti vesmíru.

Podle mě jde o jistou "myšlenkovou módu". Tak jako v době mechanických hodinových zázraků se celý vesmír filosoficky připodobňoval ke stroji, dnes se objevují myšlenky, že realita je matematika nebo soubor vztahů, které vytvářejí vše, včetně času. Takže jakkoliv se mi velice líbil román v článku zmiňovaného Grega Egana "Město permutací", úvahy o tom, jestli realita je stroj, vtělená matematika nebo emergence z nadřazené sítě mi přijdou vhodné tak čtvrté-páté skleničce.

Odpovědět


Re: Re: Re: Realita vs. model

Milan Krnic,2016-10-27 06:56:27

Souhlasím. Ostatně kdo ví, při jakém rozpoložení Tegmark tvoří.

Odpovědět




Pro přispívání do diskuze musíte být přihlášeni