„Navzdory obecnému mínění matematika život nekomplikuje, ale zjednodušuje .“
Benoit Mandelbrot má „na svědomí“ rozvoj oboru, jenž byl nazván fraktální geometrií. Jde o způsob, jak matematicky popsat nepřesné nebo různě se větvící geometrické tvary případně i procesy, které mají podobné vlastnosti bez ohledu na zvětšení (zmenšení), anebo časové přiblížení. Dlouho si i matematici mysleli, že většina přírodních struktur je příliš složitá, nepravidelná, rozkouskovaná, nebo amorfní na to, aby se dala popsat jazykem matematiky. Euklidova geometrie byla spojována s abstraktní dokonalostí, která se v reálném světě v podstatě nevyskytuje. Mandelbrot dokázal překlenout tyto bariéry a navrhnout způsob jak matematicky popsat například tvar mraků, hor, pobřeží nebo stromů. To umožňuje různě členité útvary alespoň přibližně měřit. Je to hledání zákonitosti tam, kde zdánlivě žádné nejsou. Mandelbrotova práce se tak stala základem teorie chaosu – matematiky nelineárních dynamických systémů.
Hledání souvislostí
V roce 1960 začal Mandelbrot v IBM matematicky analyzovat elektronický šum, který někdy způsoboval poruchy v přenosech dat a vedl k chybám. Přestože podstatu tohoto problému nikdo nechápal, vědci z IBM zaregistrovali, že odchylky se grupují a po časovém úseku bez chyb přichází chvíle, kdy se jich objeví více.
Mandelbrot začal zkoumat časové souvislosti v seskupování odchylek a zjistil, že jejich výskyt má svou vnitřní strukturu, která byla tím komplexnější, čím podrobněji ji studoval. I hodina mohla uběhnout bez jediné chyby a v té následující se jich mohlo objevit několik. Ale když těchto „chybových“ 60 minut rozdělil na 20minutové úseky, opět dostal jakýsi časový vzor výskytu chyb – jeden časový úsek byl v pořádku, zatímco ten následující doprovázely poruchy.
Po rozboru na různých úrovních časového přiblížení Mandelbrot našel poměr mezi bezchybným přenosem a úsekem s chybami, který byl kupodivu konstantní. Jinými slovy elektronické poruchy se chovaly „soběpodobně“ při každém zvětšení/zmenšení časového měřítka a každá menší část po zvětšení byla kopií části větší.
Mandelbrot si postupně začal uvědomovat stejnou soběpodobnost i v jiných oblastech. Dokonce ji objevil i při analýze statistických údajů o ceně bavlny. Všiml si, že zatímco denní, měsíční a roční ceny bavlny jsou náhodné, křivky cenových změn (rozdílů) jsou v příslušných časových obdobích (den, měsíc, rok) totožné.
V roce 1967 uveřejnil článek How Long Is the Coast of Britain? (Jak je dlouhé pobřeží Británie?), ve kterém matematicky zdůvodňuje, jak se délka pobřeží zvětšuje s podrobností měřítka v jakém ji pozorujeme. Když ji změříme podle málo podrobné mapy, bude mnohem kratší, než když si vezmeme mapu podrobnější. Ale i to poskytne menší hodnotu, než jakou zjistíme měřením přímo v terénu a budeme brát v úvahu každou zátoku, pak každou zátočinku v každé zátoce…
Na tyto vzory se nepodařilo navléct žádnou z tehdejších statistických metod, proto se Mandelbrot zamýšlel nad něčím novým. Přišel s koncepcí fraktální geometrie a zavedl pojem soběpodobnost, jako základní charakteristiku tvaru mnoha fraktálových obrazců. Několikaleté bádání vyústilo do jednoduchého, ale důležitého vzorečku: z = z2•c. Je matematickým vyjádřením takzvané Mandelbrotovy množiny – množiny bodů, které splňují podmínku. Podle vzorce, jenž opticky tak připomíná známou Einsteinovou formuli, se dají v počítačích naprogramovat obrazce, kterých základní vzor se opakuje v každé škále – příklad viz video:
Z publikací a písemných přepisů přednášek byla sestavena kniha The Fractal Geometry of Nature (1982, Fraktální geometrie přírody), jež v počtu prodaných výtisků překonala všechny předcházející knížky z vyšší matematiky. Mandelbrot prokázal, že většina do těch dob používaných matematických a geometrických modelů se nehodí na popis přírodních forem a reálných procesů. “Mraky nejsou koule, hory nejsou kužely, pobřežní linie netvoří kruhové oblouky, kůra stromů není hladká, ani blesk se nešíří po přímce.“
Tyto jevy, stejně tak jako pohyby cen akcií, nehomogenity ve vířící kapalině, fluktuace v geologické aktivitě, v oběžných drahách planet, skupinové chování zvířat, nebo sociálně-ekonomické struktury, či dokonce hudba, nebo růst buněk se dají modelovat pomocí fraktálů. Jimi je možné matematicky charakterizovat například rozdíl mezi strukturou květenství brokolice a květáku. Fraktály umožňují na počítačích vytvářet realistické obrazy neexistujících hor, pobřeží, stromů, mraků. Někdy se takové padělky objeví v romantických přírodních sceneriích, jež nám známí pošlou e-mailem a často je ani nerozeznáme od reality.
Rodinné zázemí
Benoit Mandelbrot se narodil 20. listopadu 1924 ve Varšavě, v židovské rodině litevského původu. Jeho otec prodával oblečení, matka byla lékařkou. Jeho dva strýci byli matematici a tak je jasné, kdo ovlivnil Benoita a vzbudil jeho zájem o tento, mezi studenty ne příliš oblíbený předmět.
Právě strýc Szolem Mandelbrot byl profesorem matematiky na Collège de France, což v roce 1936 ulehčilo Mandelbrotovým emigraci do Francie. Benoit se přiznává, že nebyl dobrým studentem. Jenže začala válka a německá krutá okupace Francie. Rodina se přestěhovala do Tulle, školu a hry nahradila chudoba a strach o život (situaci ilustruje masakr v Tulle, ve kterém nacisté jako odplatu za usmrcení 40 svých vojáků popravili 97 náhodně vybraných civilistů a přes 300 dalších transportovali do pracovních táborů v Německu). Mladý Benoit tak vědomosti nabíral spíše samostudiem. Naučil se využívat svou obdivuhodnou představivost pro geometrickou vizualizaci matematických úkolů a pomocí ní nacházet řešení jiným způsobem, než požadovanou exaktně logickou analýzou. Tato schopnost překládat „otázky na obrázky“ mu pak umožnila u zkoušek na École Polytechnique dosáhnout nejlepší stupeň hodnocení.
Po ukončení studia Mandelbrot odešel do Ameriky a finančně podporovaný Johnem von Neumannem nastoupil v Princetonu do Institutu pro pokročilá studia (Institute for Advanced Study). V roce 1955 se sice vrátil do Francie a začal pracovat v Národním centru pro vědecký výzkum, ale nesouhlas s matematiky prosazujícími přísně analytické a abstraktní metody přispěl k jeho rozhodnutí se v roce 1958 vrátit do Ameriky, kde začal pracovat pro IBM. Prostředí mu umožňovalo svobodně se rozhodnout, kterým směrem a jakým způsobem bude pokračovat ve výzkumu. Hluboký zájem o fraktály Mandelbroita dovedly k mnohým poznatkům z lingvistiky, teorie her, letectví, strojírenství, ekonomie, fyziologie, geografie, astronomie a fyziky. Mezi jeho koníčky patřilo i studium historie vědy.
Široké spektrum odborných zájmů namísto úzké specializace, ale zejména neochota své, na představivosti vybudované teorie dokázat standardními matematickými metodami, zapříčinily, že mnozí kolegové ho považovali spíše za outsidera, který dělá "troufalé a šílené hypotézy". Jenže byl to právě Mandelbrot, který již v roce 2004 předpověděl blížící se finanční krizi a bankéře přirovnal k námořníkům, kteří ignorují varování před špatným počasím.
Po odchodu z IBM se Mandelbrot stal profesorem matematiky na Yalské universitě. Později ho jmenovala za profesora i Harvardova univerzita a francouzská École Polytechnique. Byl poctěn řadou ocenění, například v roce 1993 Wolfovou cenou za fyziku.
Následující video nabízí stručnou a žel i poslední veřejnou přednášku Benoita Mandelbrota z letošního února. Lze nastavit titulky v různých jazycích, včetně češtiny:
Video s hodinovou, odborně zaměřenou přednáškou na MIT - Massachusetts Institute of Technology v roce 2001 (v angličtině):
Zpracováno podle článku v Daily Telegraph
Diskuze:
